\section{多质点体系的引力作用}\label{sec:04.07}

我们知道，牛顿的万有引力定律式\eqref{eqn:04.03.04}
\begin{equation}\label{eqn:04.07.01}
  F = \frac { G m _ { 1 } m _ { 2 } } { r ^ { 2 } }
\end{equation}
是对两个质点而言的。牛顿在发展引力理论过程中，重要的一步
是把月亮运动和落体运动统一起来。在这个分析中，一个关键的
问题是牛顿认为地球表面落体运动的加速度可以写为
\begin{equation}\label{eqn:04.07.02}
  g = \frac { G M _ \text{地} } { R ^ { 2 } }
\end{equation}
其中$ R $是地球半径。其实式\eqref{eqn:04.07.02}是直接从式\eqref{eqn:04.07.01}得来的。
这里有一个很大的疑问，为什么能把地球和落体间的距离看为$ R $？
如果说在讨论月亮运动时，把地球和月亮看作质点是一个足够好
的近似，那么讨论落体运动时，把地球看作质点显然是不合理的
\begin{wrapfigure}[12]{r}{17em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig04.09}
  \caption{多质点体系的引力}
  \label{fig:04.09}
\end{wrapfigure}
牛顿一开始就意识到这一点，他感到不加证明地取地球和落体间距离
为$ R $，从理论上来说是有欠缺的。后来，他给出了严格的证明。为了
研究这个问题，我们必须来讨论一下多质点体系的引力问题。

现在我们先来讨论一种简单情况。如图\ref{fig:04.09}
% 145.jpg
所示，在原点有一质量为$ m $的质点，空间分布着质量分别为$ m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } , \cdots , m _ { i } $的若干个质点，它们的位置矢径分别为$ r _ { 1 } , r _ { 2 } ,
  r _ { 3 } , \cdots , r _ { i } $。为了求质点$ m $所受到的引力，必须把式\eqref{eqn:04.07.01}作
些推广。根据式\eqref{eqn:04.07.01}可知：
{\setlength{\mathindent}{2em}
\begin{equation}\label{eqn:04.07.03}
  \begin{aligned}
     & \text{第一个质点对}\,m\,\text{的引力为}
     & \vec{F} _ { 1 } = \frac { G m m _ { 1 } } { r _ 1 ^ { 2 } } \cdot \frac { \vec{r} _ { 1 } } { r _ { 1 } } \\
     & \text{第二个质点对}\,m\,\text{的引力为}
     & \vec{F} _ { 2 } = \frac { G m m _ { 2 } } { r _ 2 ^ { 2 } } \cdot \frac { \vec{r} _ { 2 } } { r _ { 2 } } \\
     & \cdots \cdots \cdots \cdots                                                                               \\
     & \text{第}\;i\;\text{个质点对}\,m\,\text{的引力为}
     & \vec{F} _ { i } = \frac { G m m _ { i } } { r _ i ^ { 2 } } \cdot \frac { \vec{r} _ { i } } { r _ { i } }
  \end{aligned}
\end{equation}}%
式中$ \dfrac { \vec{r} _ { i } } { r _ { i } } $表示第$ i $个质点对$ m $的引力的方向。因此，可以自然地认
为，$ m $所受到的总力为
\begin{equation}\label{eqn:04.07.04}
  \begin{aligned}
    \vec{F} & = \vec{F} _ { 1 } + \vec{F} _ { 2 } + \cdots + \vec{F} _ { i }                                           \\
            & = \sum _ i { \dfrac { G m m _ { i } } { r _ { i } ^ 2 } \cdot \dfrac { \vec{r} _ { i } } { r _ { i } } }
  \end{aligned}
\end{equation}

应当指出，这个推广中暗含了一个新观点。式\eqref{eqn:04.07.04}并不
全同于\eqref{eqn:04.07.01}所包含的物理内容，因为式\eqref{eqn:04.07.01}只说了两个质
点间的引力作用，而式\eqref{eqn:04.07.04}的写法，在本质上是认为两质点之
间的引力作用只与这两质点有关，而与第三者、第四者等等是否
存在毫无关系，可以不加顾及。这个新的物理内容是引力的一个
重要性质，我们称之为引力的线性迭加性。并不是所有的力都有
这种性质，譬如，强相互作用就没有这种性质。

做了上述推广，就可以来讨论牛顿所遇到的问题了。

考虑一密度均匀的球壳(图\ref{fig:04.10})，它的厚度$ t $比它的半径$ $r
小得多。我们要求出它对球壳外一个质量为$ m $的质点$ P $的引力。

可以把球壳看成许多小块的集合，每个小块在$ P $点上都有作
% 146.jpg
用力，这力的大小应当与该小块的质量成正比，而与它和$ P $点之
间的距离的平方成反比，方向沿着它们之间的连线。然后，我们
再求球壳上所有部分对$ P $点的合力。
\begin{figure}[h]
  \centering
  \includegraphics{figure/fig04.10}
  \caption{球壳的引力}
  \label{fig:04.10}
\end{figure}

%{\renewcommand{\CJKglue}{\hskip 0pt plus 0.09pt}
设在球壳$ A $点处的一小块对$ m $的引力为$ \vec{F} _ { 1 } $，由球壳的对称性，
我们可以找到与$ A $相对称的$ B $点，该处的一小块对$ m $的引力为$ \vec{F} _ { 2 } $。
由于对称，故$ \vec{F} _ { 1 } $与$ \vec{F} _ { 2 } $这两个力的竖直分量彼此抵消，而水平分量
$ F _ { 1 } \cos \alpha $与$ F _ { 2 } \cos \alpha $相等。通过把球壳分为这样一对一对的小块，我
们立刻可以看出，所有作用在$ m $上的力的竖直分量都成对地相互
抵消了。为了求出球壳对$ m $的合引力，我们只需考虑水平分量。
%}

如图\ref{fig:04.10}，考虑球壳上的一环带，该环带长为$ 2 \uppi \left( r \sin \theta \right) $，宽
为$ r \dif \theta $，厚为$ t $。因此，它的体积为
\begin{equation*}
  \dif V = 2 \uppi t r ^ { 2 } \sin \theta \dif \theta
\end{equation*}
设密度为$ \rho $，则环带的质量为
\begin{equation*}
  \dif M = \rho \dif V = 2 \uppi t \rho r ^ { 2 } \sin \theta \dif \theta
\end{equation*}
$ \dif M $对位于$ P $点处的质量$ m $所施的力是水平的，其值为
%\begin{equation}\label{eqn:04.07.05}
% \begin{aligned}
% \dif F &= G \frac { m \dif M } { x ^ { 2 } } \cos \alpha \\
% & = 2 \uppi G t \rho m r ^ { 2 } \frac { \sin \theta \dif \theta } { x ^ { 2 } } \cos \alpha
% \end{aligned}
%\end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:04.07.05}
  \begin{split}
    \dif F &= G \frac { m \dif M } { x ^ { 2 } } \cos \alpha \\
    &= 2 \uppi G t \rho m r ^ { 2 } \frac { \sin \theta \dif \theta } { x ^ { 2 } } \cos \alpha
  \end{split}
\end{equation}
% 147.jpg
其中$ x , \alpha $和$ \theta $之间满足下列关系
\begin{equation}\label{eqn:04.07.06}
  \cos \alpha = \frac { \left( R - r \cos \theta \right) } { x }
\end{equation}
再根据余弦定理
\begin{equation}\label{eqn:04.07.07}
  x ^ { 2 } = R ^ { 2 } + r ^ { 2 } - 2 R r \cos \theta
\end{equation}
\begin{align}\label{eqn:04.07.08}
  \beforetext{即} r \cos \theta = \frac { R ^ { 2 } + r ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { 2 R }
\end{align}
对式\eqref{eqn:04.07.06}进行微分，得
\begin{equation*}
  2 x \dif x = 2 R r \sin \theta \dif \theta
\end{equation*}
\begin{align}\label{eqn:04.07.09}
  \beforetext{即} \sin \theta \dif \theta = \frac { x } { R r } \dif x
\end{align}
将式\eqref{eqn:04.07.08}代入式\eqref{eqn:04.07.06}，再将式\eqref{eqn:04.07.06}、\eqref{eqn:04.07.09}代入式
\eqref{eqn:04.07.05}，从而消去$ \theta $与$ \alpha $，得
\begin{equation}\label{eqn:04.07.10}
  \dif F = \left( \frac { \uppi G t \rho m r } { R ^ { 2 } } \right) \left( \frac { R ^ { 2 } - r ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } + 1 \right) \dif x
\end{equation}
这就是环带$ \dif S $的物质作用在质点$ m $上的引力。

整个球壳的作用即为上式对所有环带求和，亦即对变量$ x $求
遍及整个球壳的积分。因为$ x $的范围是从最小值$ R - r $到最大值
$ R + r $，所以
\begin{equation}\label{eqn:04.07.11}
  \int _ { R - r } ^ { R + r } \left( \frac { R ^ { 2 } - r ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } + 1 \right) \dif x = 4 r
\end{equation}
故合力为
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    F & = \int _ { R - r } ^ { R + r } \dif F                                 \\
      & = G \frac { \left( 4 \uppi r ^ { 2 } \rho t \right) m } { R ^ { 2 } } \\
    % 148.jpg
  \end{aligned}
\end{equation*}
\begin{equation}\label{eqn:04.07.12}
  \mbox \quad = G \frac { M m } { R ^ { 2 } }
\end{equation}
式中$ M = 4 \uppi r ^ { 2 } t \rho $为球壳的总质量。这个结果表明，一个密度均匀
的球壳对球壳外一质点的引力，等效于它的所有质量都集中于它
的中心时的引力。

一个实心球体可当作由大量同心球壳所构成。如果各层球壳
具有不同密度，但每一球壳都具有均匀密度，则同样的论证也适
用于这种实心球体。因此，对于象地球、月球或太阳这类近似于
球体的天体来说，在讨论它们的吸引力时，就可以把它们当作质
量集中在球心的质点来处理。

应当强调，之所以有上述结果，是我们用了引力的迭加性和
引力的距离平方反比律。因此上述结果对其他类型的力就不一定
成立。

其实，地球并不是标准的球体，而是有点象梨的形状，“梨”
的较小一端在北半球。因此，式\eqref{eqn:04.07.12}是不严格的。若考虑地
球的真实形状，引力表达式将非常复杂。譬如，在地球附近运行
\begin{wrapfigure}[14]{r}{17em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig04.11}
  \caption{对球壳内部的引力}
  \label{fig:04.11}
\end{wrapfigure}
的人造地球卫星，明显地偏离了开普勒定律所
描述的轨道。实际上，现代的研究正是利用了
这一点。我们是反过来，由人造地球卫星实
际轨道对开普勒定律的偏离，来研究地球的形
状和质量的分布。

另一个有意义的结果是，球壳对内部任一
质点的引力为零。以下
% 149.jpg
我们参照图\ref{fig:04.11}来证明这个论断。

现在，$ m $位于球壳内部，即$ R $小于$ r $，因而式\eqref{eqn:04.07.10}以及式
\eqref{eqn:04.07.11}仍然适用，但其积分限应换成从$ r - R $到$ r + R $，即
\begin{equation*}
  \int _ { r - R } ^ { r + R } \left( \frac { R ^ { 2 } - r ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } + 1 \right) \dif x = 0
\end{equation*}
所以\vspace{-0.5em}
\begin{equation*}
  F = 0
\end{equation*}
这个结果有很大的意义，我们将在下章讨论。
